三角行列(triangular matrix)

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定義

三角行列（Triangular matrix）とは対角成分(main diagonal)の左下あるいは右上の全てがゼロである正方行列(square matrix)の総称である。

左下成分がゼロの場合を上三角行列、右上成分がゼロの場合を下三角行列と呼ぶ（即ち、上/下は非ゼロ成分の存在位置を示している）。

上三角行列:
$$
\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &\cdots &a_{1n}\\0&a_{22}&\ddots &&\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &a_{n-1,n}\\0&0&\cdots &0&a_{nn}\end{pmatrix}
$$

下三角行列:
$$
\begin{pmatrix}a_{11}&0&0&\cdots &0\\a_{21}&a_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &&\ddots &\ddots &0\\a_{n1}&\cdots &\cdots &a_{n,n-1}&a_{nn}\end{pmatrix}
$$

三角行列の性質

上三角行列＋上三角行列＝上三角行列

下三角行列＋下三角行列＝下三角行列

三角行列の行列式は対角成分の積である。

三角行列の対角成分が全て非ゼロである時、その三角行列には逆行列が存在する（∵行列式がゼロでなければ逆行列が存在するため）。

関連

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