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定義
$$ { M }_{ X }(t)=E({ e }^{ tX })=\sum _{ x\in S }^{ }{ { e }^{ tx }{ f }_{ X }(x) } $$
MGFはラプラス変換(Laplace Transform)としても知られている。
モーメント母関数はなんのために存在するのか？
モーメント母関数は、そのr次微分を取りt=0を代入すると、確率変数Xのr次モーメント(raw moment)となる。微分という単純かつ一貫した演算のみによって、任意のr次のモーメントを計算できることがモーメント母関数の存在価値（利用価値）である。もしモーメント母関数がなければ、r次のモーメントを求めるためには、確率変数のタイプごとに計算方法を創意工夫しなければならない。
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