検定-帰無仮説-検定統計量-効果量-コーエンの基準の対応の整理

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検定ー帰無仮説ー検定統計量ー効果量ーコーエンの基準の対応

f2

コーエンの基準とは：本来、効果量の大小は実質科学的な知見の集積から判断すべきものであるが、知見の集積がない分野において便宜的に使用される慣習的基準が存在する。コーエンの基準は慣習的基準１つである。

各検定法で使用される数式

t検定(対応のない２群の平均値差の検定)

検定統計量t

t値 = { (実験群の標本平均 – 対照群の標本平均) / 2群に共通の標準偏差 } x SQRT{(n実験xn)対照 / (n実験+n対照)}

効果量

効果量は「標準化された平均値差」である。

標本効果量 d ＝ |実験群の標本平均 – 対照群の標本平均| / 2群に共通の標準偏差

標本効果量 d = |t値| x SQRT{(n実験+n対象) / (n実験xn対象)}

標本効果量の信頼区間

標本効果量の信頼区間は以下の式によって求められる

$${S_{\widehat {es}}} = \sqrt {\frac{{n1 + n2}}{{n1 \times n2}} + \frac{{{{\widehat {es}}^2}}}{{2(n1 + n2 – 2)}}} $$

$$(\widehat {es} – 1.96 \times {S_{\widehat {es}}},\widehat {es} + 1.96 \times {S_{\widehat {es}}})$$

対応のある平均値差の検定

検定統計量 t 

t値 = (差得点の標本平均 / 差得点の標準偏差) x SQRT(標本数)

標本効果量

標本効果量 = |t値| x SQRT(1/標本数)

比率の差の検定

検定統計量 z

$$z = \frac{{\left| {{P_A} – {P_B}} \right|}}{{\sqrt {P(1 – P)(\frac{1}{{{N_A}}} – \frac{1}{{{N_B}}})} }}$$

P:全体の比率、PA:A群の比率、PB:B群の比率、NA:A群の標本数、NB:B群の標本数

比率差の標準誤差

$$\sqrt {(\frac{{P(1 – P)}}{{{N_A}}} + \frac{{P(1 – P)}}{{{N_B}}})} $$

比率の差の信頼区間(95%CI)

下限 = 比率差 – 1.96 x 比率差の標準誤差

上限 = 比率差 + 1.96 x 比率差の標準誤差

母効果量h

$$h = 2\arcsin \sqrt {P{}_1}  – 2\arcsin \sqrt {P{}_2} $$

標本効果量h_hat

$$\widehat h = 2\arcsin \sqrt {\widehat {P{}_1}}  – 2\arcsin \sqrt {\widehat {P{}_2}} $$

適合度検定

検定統計量 χ²

検定統計量 χ2乗＝∑（カテゴリiの度数-総度数xH0のカテゴリiの母比率)^2 / 総度数xH0のカテゴリiの母比率

このχ2乗統計量は自由度m-1(カテゴリ数-1)のカイ二乗分布に漸近的に従う

母効果量 w

母効果量 w = SQRT(∑（H1のカテゴリiの母比率 – H0のカテゴリiの母比率)^2 / H0のカテゴリiの母比率))

標本効果量 w_caret

標本効果量 w_caret = SQRT(χ2乗値/総度数)

相関係数の検定（無相関検定）

検定統計量t

t値 = {標本相関係数 / SQRT(1-(標本相関係数)²)} x SQRT((標本数-2))

相関係数の信頼区間（下限と上限）

ρ下限 = tanh(tanh^-1標本相関係数 – 1.96 x SQRT(標本数-3))

ρ上限 = tanh(tanh^-1標本相関係数 + 1.96 x SQRT(標本数-3))

(95%信頼区間の場合は1.96を使用する。99%信頼区間では2.58、99.9%信頼区間では3.29を使用する）

母効果量、標本効果量

相関係数はそれ自体が既に標準化されているため、そのまま効果量として使用可能である。

一要因分散分析

検定統計量F

F = (群間平方和/群間の自由度) / (群内平方和/群内の自由度)

群間の自由度 = 水準数 – 1

群内の自由度 =  Σ(各群の標本数 – 水準数) (*)(各群の標本数 – 水準数)を全群分合算

(*)「群間の自由度」は「因子Aの自由度」、「群内の自由度」は「誤差の自由度」とも呼ばれる。

(*) 平方和/自由度 = 平均平方、と呼ぶ。

母効果量f

f = 母集団における平均の標準偏差 / 各郡内における母集団標準偏差

標本効果量 f_caret

f_caret = SQRT(群間平方和/群内平方和)

f_caret = SQRT(F値 x (群間自由度/群内自由度))

f_caret = SQRT((標本相関比)²/ (1 – (標本相関比)²))

単回帰分析

検定統計量F（回帰係数の検定)

F = (回帰による分散説明率PVs / 説明変数に対する自由度u)  / (誤差の分散説明率PVe / 誤差変数に対する自由度v)

説明変数に対する自由度は、単回帰分析の場合、説明変数が1なので、1となる。

誤差変数に対する自由度は、単回帰分析の場合、標本数 – 2、となる。

F = (PVs/PVe) * (v/u) = (R²/u) / ((1-R²)/v) = (R²/(1-R²)) * (v/u)

回帰係数の検定では、Fの自由度uとvは、u=説明変数の数、v=標本数 – u -1、となる。

効果量 f²

f² = PV_s / PV_e = R² / (1-R²)

重回帰分析

検定統計量F（偏回帰係数の検定)

F = (重回帰による分散説明率PVs / 説明変数に対する自由度u)  / (誤差の分散説明率PVe / 誤差変数に対する自由度v)=(PVs/PVe) * (v/u) = (R²/u) / ((1-R²)/v) = (R²/(1-R²)) * (v/u)

要するに単回帰分析と同じであるが、重回帰分析の場合、説明変数の集合による分散説明率であることに注意。

効果量f²と検定統計量F（決定係数の増分に関する検定)

f²= (R²_新モデル – R²_旧モデル) / (1 – R²_新モデル)

(*)新モデルが説明変数を追加したモデルである。

F = f_caret² x (v/u)

標本効果量 f_caret = F x (u/v)

(*) u:追加した変数の数、v=標本数-u-w-1=標本数-モデル2の変数の数-1

偏回帰係数の信頼区間(95%CI)

推定値±t(自由度(標本数-説明変数の数-1),0.05) x 推定値の標準誤差

多要因分散分析

母効果量(主要因)

f_A = 要因Aの各水準の母平均による標準偏差 / 群内の母標準偏差

母効果量(交互作用)

f_AB = 各セルの母集団における組み合わせ効果による標準偏差 / 群内の母標準偏差

標本効果量 f_caret

$$\widehat f = \sqrt {\frac{{\widehat {\eta _p^2}}}{{1 – \widehat {\eta _p^2}}}} $$

要因の標本偏相関比(η_caret p)

要因の標本偏相関比(η_caret p) = SQRT(要因の平方和 / (要因の平方和+誤差の平方和))

要因Aの標本偏相関比(η_caret pA)の２乗 = (要因Aの自由度 x 要因AのF値) / (要因Aの自由度 x 要因AのF値 + 誤差の自由度)

繰り返しのないニ要因分散分析

効果量f²と検定統計量F（決定係数の増分に関する検定)

重回帰分析と同じ式を用いてブロック因子の追加の意義を検討する。

母効果量 f²

$$f = \frac{{\eta _p^2}}{{1 – \eta _p^2}}$$

標本効果量 f²_caret

$$\widehat f = \frac{{\widehat {\eta _p^2}}}{{1 – \widehat {\eta _p^2}}}$$

要因の標本偏相関比の２乗

(η_caret p)²= 要因の平方和 / (要因の平方和+誤差の平方和)

要因Aの標本偏相関比(η_caret pA)の２乗 = (要因Aの自由度 x 要因AのF値) / (要因Aの自由度 x 要因AのF値 + 誤差の自由度)